On considère la pyramide SABCD où la base ABCD est un carré (la pyramide n'est pas aplatie). On note O le centre du carré ABCD. On considère les points I, J, K
Question
On note O le centre du carré ABCD.
On considère les points I, J, K et L définis par : AI = 3/4AB, SJ = 1/4SC, SK = 5/8SO et AL = 3/4AD.
1. Justifier que les vecteurs SA, SB et SC ne sont pas coplanaires.
2. Démontrer que les points I, J, K et L sont coplanaires.
3. En déduire la section de la pyramide SABCD par le plan (IJK). (Vous tracerez cette section sur la figure fournie
ci-dessous en laissant les traits de construction apparents).
1 Réponse
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1. Réponse Mozi
Bonjour,
1 ) Supposons que les vecteurs SA, SB et SC sont coplanaires.
Il existe donc deux nombres réels a et b tels que SC = a SA + b SB
⇔ SC = a SC + a CA + b SC + b CB
⇔ (a + b - 1) CS = a CA + bCB
Absurde puisque S appartiendrait au plan (ABC) dans ce cas.
On en déduit (raisonnement par l'absurde) que les vecteurs SA, SB et SC ne sont pas colinéaires.
2 ) KI = KS + SO + OA + AI = -5/8 SO + SO + OA + 3/4 AB
KI = 3/8 SO + OA + 3/4 AB
KJ = KS + SJ = -5/8 SO + 1/4 SC = -5/8 SO + 1/4 SO + 1/4 OC
KJ= -3/8 SO + 1/4 OC
KL = KS + SO + OA + AL = -5/8 SO + SO + OA + 3/4 AD
KL = 3/8 SO + OA + 3/4 AD
KI + KL = 3/4 SO + 2 OA + 3/4 AC
KI + KL = 3/4 SO - 2 OC + 3/2 OC
KI + KL = 3/4 SO - ½ OC
KI + KL = -2 (-3/8 SO + 1/4 OC)
KI + KL = -2 KJ
Les vecteurs KI, KJ et KL sont coplanaires et le point I, J, K et L le sont ainsi à leur tour.
3) PJ
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