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Question

Vous pouvez m'aider ? je ne comprends pas même après 1h.

Une entreprise doit installer un toboggan dans un jardin pour enfants. Le profil de ce toboggan est représenté par la courbe ci-contre, constituée de deux portions de paraboles :
- P₁, courbe représentative d'une fonction f₁ définie sur [0 ; 1];
- P2, courbe représentative d'une fonction f2 définie sur [1 ; 2]. P₁ et P2 admettent la même tangente au point R d'abscisse 1. Par ailleurs, les contraintes de sécurité imposent que les tangentes à la courbe aux points d'abscisses 0 et 2 soient parallèles à l'axe des abscisses.

• Déterminer les expressions des fonctions f₁ et f2.​
Vous pouvez m'aider ? je ne comprends pas même après 1h. Une entreprise doit installer un toboggan dans un jardin pour enfants. Le profil de ce toboggan est rep

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1 Réponse

  • Bonjour,

    Comme les deux courbes correspondent à des portions de paraboles, les fonctions f₁ et f₂ sont donc des polynômes de second degré.

    On les note f₁(x) = a₁ x² + b₁ x + c₁ et f₂(x) = a₂ x² + b₂ x + c₂

    On a f₁'(x) = 2a₁ x + b₁ et f₂'(x) = 2a₂ x + b₂

    On a :

    f₁(0) = 1 ⇔ c₁ = 1

    f₁'(0) = 0 ⇔ b₁ = 0

    f₁(1) = ½ ⇔ a₁ + b₁ + c₁ = ½ ⇔ a₁ = -½

    On en déduit que f₁(x) = - ½  x² + 1

    Et on a :

    f₁'(1) = f₂'(1) ⇔ 2a₂ + b₂ = 2a₁ + b₁ ⇔ 2a₂ + b₂ = -1

    f₂'(2) = 0 ⇔ 4a₂ + b₂ = 0

    Des deux égalités précédentes, on déduit que

    (4a₂ + b₂) - (2a₂ + b₂) = 0 - (-1) ⇔ 2a₂ = 1 ⇔ a₂ = ½

    et que b₂ = -4a₂ = -2

    f₂(2) = 0 ⇔ 4a₂ + 2b₂ + c₂ = 0

    ⇔ c₂ = -4a₂ - 2b₂ = -2 + 4 = 2

    Soit f₂(x) = ½ x² - 2x + 2

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