Vrai ou faux Complexe , Bonjour je bloque à une question Si z' différent de 0 et module z/module z'=1 alors il existe theta appartient à (0;2pi( tel que z=e^i

Salut, je vais d'abord décrire précisément ce que tu dois montrer et ça t'aidera peut être mieux à comprendre car la proposition est assez triviale (mais pas pour autant facile à démontrer de façon rigoureuse). 

La proposition dit que si [tex] \frac{|z|}{|z'|}=1 [/tex], (sachant que z' est non nul pour pouvoir définir le quotient), - cela signifie simplement que z et z' sont deux complexes avec le même module -, alors on a [tex]z=e ^{i \theta} z'[/tex] ce qui signifie que z est égale à z' avec un écart dans l'argument. 
Donc si on résume, la proposition dit : si z et z' ont le même module, alors ont peut écrire z en fonction de z' en corrigeant l'argument. C'est pour ça que c'est assez triviale puisque la proposition nous dit juste que si deux nombres complexes ont les même modules, alors ils ont toujours pas les mêmes arguments mais ça simplifie l'écriture.

On peut quand même le démontrer rigoureusement de la façon suivante : 

Soient z et z' ∈ C tels que z' ≠ 0 et que |z|=|z'|. 
On peut écrire z et z' sous forme exponentielle : 
[tex]z=|z| e^{i * arg(z)} [/tex] et [tex]z'=|z'| e^{i * arg(z')} [/tex].

On peut alors écrire : |z'|=z' e^{-i * arg(z)} en divisant par l'exponentielle. 
Comme |z|=|z'|, on a aussi |z|=z' e^{-i * arg(z')}.
Si on reprend l'expression de z en remplaçant le module, on obtient :
[tex]z=e^{-i * arg(z')}e^{i * arg(z)}=e^{i * (arg(z')-arg(z))} [/tex] .

La démonstration est faite puisqu'on a : [tex]\theta = arg(z)-arg(z')[/tex].

Voilà, si tu as des questions n'hésite pas.